Question

【题目】已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC．

（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；

（2）如图2，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由；

（3）如图3，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB=m，BP=n，求m：n的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）△ACE是直角三角形，理由见解析；（3）m：n= ：1．

【解析】

（1）根据正方形的性质证明△APE≌△CFE，可得结论；
（2）分别证明∠PAE=45°和∠BAC=45°，则∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；
（3）设CE交AB于G，先表示出AP=PG=m-n，BG=m-（2m-2n）=2n-m，再由，即可得出结论．

（1）∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，

∴AB=BC，BP=BF，

∴AP=CF，

在△APE和△CFE中，

，

∴△APE≌△CFE，

∴EA=EC；

（2）△ACE是直角三角形，理由是：

如图2，∵P为AB的中点，

∴PA=PB，

∵PB=PE，

∴PA=PE，

∴∠PAE=45°，

又∵∠BAC=45°，

∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；

（3）解，设CE交AB于G，

∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，

∴AP=PG=m-n，BG=m-（2m-2n）=2n-m，

∵PE∥CF，

∴，

即 ，

解得：m= n，

∴m：n= ：1．

故答案为：（1）见解析；（2）△ACE是直角三角形，理由见解析；（3）m：n= ：1．