Question

2．如图，已知等边△AOB的顶点O与原点重合，点A的坐标为（0，2$\sqrt{3}$），点P（t，0）为x轴上一动点（不与O重合）．连结AP，将AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QB并延长交x轴于点C．过Q作x轴的垂线，垂足为D．
（1）直接写出点B的坐标，并求当t=4时，BQ的长度．
（2）当t＞0时，求△QCP的面积S与t的函数关系式．
（3）在直线QD上存在点M，使△BPM成为等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的t的值．

Answer 1

分析 （1）证明△AOP≌△ABQ，即可得到BQ=OP=4；
（2）由△AOP≌△ABQ，得到△OCB是等腰三角形，进而表示出OC、CP、CQ、QD的长度，求△QCP的面积S与t的函数关系式；
（3）存在，分三种情况分类讨论，列方程组求解即可．

解答 解：（1）由题意知，△AOB和△AQP都是等边三角形，
∴AO=AB，AP=AQ，∠OAP=60°-∠PAB=∠BAQ，
∴△AOP≌△ABQ，
∴BQ=OP=4；
（2）∵△AOP≌△ABQ，
∴∠ABQ=90°，∠OBC=30°，
∵∠BOC=30°，
∴∠BCP=60°，
在等腰三角形OCB中，OB=2$\sqrt{3}$，
∴OC=BC=2，CQ=t+2，CP=t-2，
∴S_△CPQ=$\frac{1}{2}$•（t+2）•（t-2）•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（t²-4），
∴①当0＜t＜2时，S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（t²-4），
②当t＞2时，S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（t²-4）；
（3）存在，t=$6+2\sqrt{3}$或$6-2\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}$或$-2\sqrt{3}$，
在直线QD上存在点M，使△BPM成为等腰直角三角形，有三种可能：
①BP²+PM²=BM²且BP=PM
②BP²+BM²=PM²且BP=BM
③BM²+PM²=BP²且BM=PM
分别列方程组解得：t=$6+2\sqrt{3}$或$6-2\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}$或$-2\sqrt{3}$．

点评 本题考查了运用数形结合的方法解决几何变换问题，主要考查了三角形全等的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，三角函数以及列方程（组）等知识的综合运用．