Question

7．设∠BAC=α（0°＜α＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上．
（1）如图1所示，从点A₁开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A₁A₂为第1根小棒．
①小棒能无限摆下去吗？答：能．（填“能”或“不能”）
②若AA₁=A₁A₂=A₂A₃，则α=22.5度；
（2）如图2所示，从点A₁开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A₁A₂为第1根小棒，且A₁A₂=AA₁，若只能摆放4根小棒，求α的范围．

Answer 1

分析 （1）本题需先根据已知条件∠BAC=α（0°＜α＜90°）小棒两端分别落在两射线上，从而判断出能继续摆下去；
（2）利用等腰直角三角形的性质求解即可；
（3）求出第三根小木棒构成的三角形，然后根据三角形的内角和定理和外角性质列出不等式组求解即可．

解答 解：（1）∵根据已知条件∠BAC=α（0°＜α＜90°）小棒两端能分别落在两射线上，
∴小棒能继续摆下去．
故答案为：能；

（2）∵A₁A₂=A₂A₃，A₁A₂⊥A₂A₃，
∴∠A₂A₁A₃=45°，
∴∠AA₂A₁+∠α=45°，
∵∠AA₂A₁=∠α，
∴∠α=22.5°；
故答案为：22.5；

（3）∵只能摆放4根小木棒，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4α＜90°}\\{5α≥90°}\end{array}\right.$，
解得18°≤α＜22.5°．

点评 本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，（3）列出不等式组是解题的关键．