Question

12．如图，点A（m，6）、B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）在x轴上存在一点P，使|PA-PB|最大，请直接写出P点坐标．

Answer 1

分析 （1）先设反比例函数的表达式为y=$\frac{k}{x}$，然后将A（m，6）、B（n，1）代入关系式，即可得到m与n的关系：n=6m，然后由DC=5，可得：n-m=5，进而可得：m=1，n=6，从而确定A，B两点的坐标，然后将A点的坐标代入y=$\frac{k}{x}$，即可求出k的值，进而可确定反比例函数的表达式；
（2）由三角形三边关系，两边之差小于第三边可得，|PA-PB|＜AB，所以当A、B、P在同一条直线上时，PA-PB=AB时，|PA-PB|最大，然后求出直线AB的解析式，由P在x轴上，然后求出直线AB与x轴的交点即可得到P点坐标．

解答 解：（1）设反比例函数的表达式为y=$\frac{k}{x}$，
∵A（m，6），B（n，1）在反比例函数上，
∴6m=n，
∵DC=5，
∴n-m=5，
解得：m=1，n=6，
∴A（1，6），B（6，1）
把A（1，6）代入y=$\frac{k}{x}$中，
解得：k=6
∴反比例函数表达式为y=$\frac{6}{x}$；
（2）由三角形三边关系，两边之差小于第三边可得，|PA-PB|＜AB，
所以当A、B、P在同一条直线上时，PA-PB=AB时，|PA-PB|最大．
设直线AB的解析式为y=kx+b 
将A（1，6），B（6，1）代入解析式可得：m=-1，b=7
所以直线AB的解析式为y=-x+7，
∵P在x轴上，当y=0时，x=7，
∴P（7，0）．

点评 此题考查了用待定系数法求反比例函数关系式，解（2）的关键是：由三角形三边关系得到：当A、B、P在同一条直线上时，PA-PB=AB时，|PA-PB|最大．