Question

8．如图点P（$\sqrt{5}$+1，$\sqrt{5}$-1）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上．
（1）求k的值；
（2）若矩形ABCD的顶点C，D在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，顶点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且AB=2BC，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点P的坐标代入双曲线解析式中解答即可；
（2）过点D作DE⊥OA于点E，过点C作CF⊥OB于点F，易证得△CFB∽△BOA，得到C（$\frac{1}{2}$b，$\frac{1}{2}$a+b），解得a的值，即可求出点C的坐标．

解答 解：（1）∵点P（$\sqrt{5}$+1，$\sqrt{5}$-1）在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴k=（$\sqrt{5}$+1）（$\sqrt{5}$-1）=4；

（2）过点D作DE⊥OA于点E，过点C作CF⊥OB于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠CBA=∠BAD=90°，
∴∠FBC+∠OBA=90°，
∵∠CFB=∠BOA=90°，
∴∠FCB+∠FBC=90°，
∴∠FBC=∠OAB，
∴△CFB∽△ABO，
∴$\frac{CF}{OB}$=$\frac{BF}{OA}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴CF=$\frac{1}{2}$OB，BF=$\frac{1}{2}$OA，
同理AE=$\frac{1}{2}$OB，DE=$\frac{1}{2}$OA，
设A（a，0），B（0，b），
∴OA=a，OB=b，
∴CF=AE=$\frac{1}{2}$b，BF=DE=$\frac{1}{2}$a
则D（a+$\frac{1}{2}$b，$\frac{1}{2}$a）C（$\frac{1}{2}$b，$\frac{1}{2}$a+b），
∵点C，D在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴（a+$\frac{1}{2}$b）•（$\frac{1}{2}$a）=（$\frac{1}{2}$b）•（$\frac{1}{2}$a+b）=4，
∴a=b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴C（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2$\sqrt{3}$）．

点评 此题考查了待定系数法求函数的解析式、矩形的性质与判定、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，综合性很强，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．