Question

3．已知△ABC内接于半径为r的⊙O，且BC＞AB＞AC，OD⊥BC于点D，若OD=$\frac{1}{2}$r，则∠A的度数是多少？

Answer 1

分析 连接OB，OD⊥BC，OD=$\frac{1}{2}r$，可得∠OBD=30°，易得∠BOD=60°，∠BOC=120°，由圆周角定理可得，∠A=60°．

解答 解：连结OB，OC．分以下两种情况
（1）当点O在△ABC内时，即△ABC是锐角三角形，（如右图）
∵OD=1/2r，
∴∠OBD=30度，
∴∠BOC=120度
∴∠A=60度
由于大角对大边，∠A所对的边为BC，是最大的边，所以∠A也应为最大的角，故∠A=60°不合题意
（2）当点O在△ABC外时，即△ABC是钝角三角形，（自行作图）
同理∠BOC=120度，
在优弧BC上任取一点E，连结BE，CE．
∴∠E=1/2∠BOC=60度，
∵四边形ABEC内接于⊙O，
∴∠A+∠E=180度
∴∠A=120度．
综上∠A=120度

点评 本题主要考查了垂径定理，含30°角的直角三角形，圆周角定理，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，是解答此题的关键．