Question

20．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，c=5，两直角边a，b关于x的一元二次方程x²-mx+2m-2=0的两个根，则Rt△ABC中较小的锐角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 根据一元二次方程的根与系数的关系求得m的值后，再求得方程的解，求出较小锐角的正弦值．

解答 解：∵a，b是方程x²-mx+2m-2=0的解，
∴a+b=m，ab=2m-2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，a²+b²=c²，
而a²+b²=（a+b）²-2ab，c=5，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=25，
即：m²-2（2m-2）=25
解得，m₁=7，m₂=-3，
∵a，b是Rt△ABC的两条直角边的长．
∴a+b=m＞0，m=-3不合题意，舍去．
∴m=7，
当m=7时，原方程为x²-7x+12=0，
解得，x₁=3，x₂=4，
不妨设a=3，则sinA=$\frac{a}{c}$=$\frac{3}{5}$，
∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为$\frac{3}{5}$．
故选C．

点评 本题考查了根与系数的关系及锐角三角函数的定义，难度较大，主要掌握利用一元二次方程的根与系数的关系，勾股定理，正弦的概念求解．