Question

19．已知a²+2a-1=0，b⁴-2b²-1=0，且1-ab²≠0，求代数式（$\frac{a{b}^{2}+{b}^{2}+1}{a}$）²⁰¹⁵的值．

Answer 1

分析 将两等式左右两边相减，左边整理后分解因式，根据1-ab²≠0的题设条件求得b²=-a，代入所求的分式化简，再将a²=-2a+1代入，整理后即可求出值．

解答 解：∵a²+2a-1=0，b⁴-2b²-1=0，
∴（a²+2a-1）-（b⁴-2b²-1）=0，
化简之后得到：（a+b²）（a-b²+2）=0，
若a-b²+2=0，即b²=a+2，则1-ab²=1-a（a+2）=1-a²-2a=0，与题设矛盾，所以a-b²+2≠0，
因此a+b²=0，即b²=-a，
又因为a²+2a-1=0，即a²=-2a+1，
∴（$\frac{a{b}^{2}+{b}^{2}+1}{a}$）²⁰¹⁵=${（\frac{{-a}^{2}-a+1}{a}）}^{2015}$=${（\frac{2a-1-a+1}{a}）}^{2015}$=1．

点评 此题考查了根与系数的关系，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），当方程有解，即b²-4ac≥0时，设方程两根分别为x₁，x₂，则有x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．