Question

【题目】利用“同角的余角相等”可以帮助我们得到相等的角，这个规律在全等三角形的判定中有着广泛的运用．

（1）如图①，，，三点共线，于点，于点，，且．若，求的长．

（2）如图②，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，直角顶点的坐标为，点的坐标为．求直线与轴的交点坐标．

（3）如图③，，平分，若点坐标为，点坐标为．则 ．（只需写出结果，用含，的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）6；（2）（0,2）；（3）

【解析】

（1）利用AAS证出△ABC≌△CDE，根据全等三角形的性质可得AB=CD，BC=DE，再根据BD=CD＋BC等量代换即可求出BD；

（2）过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，利用AAS证出△ADC≌△CEB，根据全等三角形的性质可得AD=CE，CD=BE，根据点A和点C的坐标即可求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式，即可求出直线AB与y轴的交点坐标；

（3）过点C作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E，根据正方形的判定可得四边形OECD是正方形，然后利用ASA证出△DCA≌△ECB，从而得出DA=EB，S△DCA=S△ECB，然后利用正方形的边长相等即可求出a、b表示出DA和正方形的边长OD，然后根据即可推出=，最后求正方形的面积即可．

解：（1）∵，，

∴∠ABC=∠CDE=∠ACE=90°

∴∠A＋∠ACB=90°，∠ECD＋∠ACB=180°－∠ACE=90°

∴∠A=∠ECD

在△ABC和△CDE中

∴△ABC≌△CDE

∴AB=CD，BC=DE

∴BD=CD＋BC=

（2）过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E

∵△ABC为等腰直角三角形

∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，AC=CB

∴∠DAC＋∠ACD=90°，∠ECB＋∠ACD=180°－∠ACB=90°

∴∠DAC =∠ECB

在△ADC和△CEB中

∴△ADC≌△CEB

∴AD=CE，CD=BE

∵点的坐标为，点的坐标为

∴CO=1，AD=1，DO=2,

∴OE=OC＋CE= OC＋AD=2，BE=CD=CO＋DO=3，

∴点B的坐标为（2,3）

设直线AB的解析式为y=kx＋b

将A、B两点的坐标代入，得

解得：

∴直线AB的解析式为

当x=0时，解得y=2

∴直线与轴的交点坐标为（0,2）；

（3）过点C作CD⊥y轴于D，CE⊥x轴于E

∵OC平分∠AOB

∴CD=CE

∴四边形OECD是正方形

∴∠DCE=90°，OD=OE

∵∠ACB=90°

∴∠DCA＋∠ACE=∠ECB＋∠ACE=90°

∴∠DCA=∠ECB

在△DCA和△ECB中

∴△DCA≌△ECB

∴DA=EB，S△DCA=S△ECB

∵点坐标为，点坐标为

∴OB=b，OA=a

∵OD=OE

∴OA＋DA=OB－BE

即a＋DA=b－DA

∴DA=

∴OD= OA＋DA=

=

=

= DA2

=

=

故答案为：．