Question

【题目】已知，点B在线段CE上．

（感知）（1）如图①，∠C＝∠ABD＝∠E＝90°，易知△ACB∽△AED（不要求证明）；

（拓展）（2）如图②，△ACE中，AC＝AE，且∠ABD＝∠E，求证：△ACB∽△BED；

（应用）（3）如图③，△ACE为等边三角形，且∠ABD＝60°，AC＝6，BC＝2，则△ABD与△BDE的面积比为　 　．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）7：2

【解析】

（1）由∠C＝∠ABD＝∠E＝90°知∠A+∠ABC＝∠ABC+∠DBE＝90°，据此得∠A＝∠DBE，从而得证．

（2）由∠C＝∠ABD＝∠E与∠ABE＝∠C+∠CAB，∠ABE＝∠ABD+∠DBE，即可求得∠CAB＝∠DBE，即可证得：△ACB∽△BED．

（3）由△ACB∽△BED，根据相似三角形的对应边成比例，可求得△ABC与△BDE的面积比，△ABC与△ABE的面积比，继而求得答案．

（1）∵∠C＝∠ABD＝∠E＝90°，

∴∠A+∠ABC＝∠ABC+∠DBE＝90°，

∴∠A＝∠DBE，

∴△ACB∽△BED；

（2）∵AC＝AE，

∴∠C＝∠E，

∵∠ABD＝∠E，

∴∠C＝∠ABD，

又∵∠ABE＝∠C+∠CAB，∠ABE＝∠ABD+∠DBE，

∴∠CAB＝∠DBE，

∴△ACB∽△BED；

（3）∵∠ABE＝∠C+∠CAB，∠ABE＝∠ABD+∠DBE，∠C＝∠ABD，

∴∠CAB＝∠DBE，

∵∠C＝∠E＝60°，

∴△ACB∽△BED，△ACE是等边三角形，

∴AE＝AC＝6，

∴BE＝CE﹣BC＝4，

∴△ACB与△BED的相似比为：3：2，

∴S△ABC：S△BED＝9：4，S△ABC：S△ABE＝1：2＝9：18，

设S△ABC＝9x，则S△ABE＝18x，S△BDE＝4x，

∴S△ABD＝S△ABE﹣S△BED＝18x﹣4x＝14x，

∴S△ABD：S△BDE＝14：4＝7：2．

故答案为：7：2．