Question

【题目】如图，点A在⊙O上，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，连接OP交⊙O于点D，作AB⊥OP于点C，交⊙O于点B，连接PB．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）若PC=9，AB=6，

①求图中阴影部分的面积；

②若点E是⊙O上一点，连接AE，BE，当AE=6 时，BE=　 　．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①S阴影= 18﹣6π；②3﹣3 或3+3．

【解析】试题分析：（1）由PA切⊙O于点A得：∠PAO=90°，再证明△APO≌△BPO，所以∠PBO=∠PAO=90°，可得结论；

（2）①先根据垂径定理得：BC=3，根据勾股定理求圆的半径OB的长，利用三角函数得：∠COB=60°，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式分别求S△OPB和S扇形DOB的值，最后利用面积差得结论；

②②分两种情况：

i）当点E在 上时，如图2，作辅助线，构建直角三角形和等腰直角三角形，利用同弧所对的圆周角与半径及勾股定理分别计算EH和BH的长，相加即可得BE的长；

ii）当点E在劣弧上时，如图3，作辅助线，同理计算EH和BH的长，最后利用勾股定理求BE的长．

试题解析：（1）如图1，连接OB，

∵OP⊥AB，OP经过圆心O，∴AC=BC，∴OP垂直平分AB，∴AP=BP，

∵OA=OB，OP=OP，∴△APO≌△BPO（SSS），∴∠PAO=∠PBO，

∵PA切⊙O于点A，∴AP⊥OA，∴∠PAO=90°，∴∠PBO=∠PAO=90°，∴OB⊥BP，

又∵点B在⊙O上，∴PB与⊙O相切于点B；

（2）①如图1，∵OP⊥AB，OP经过圆心O，∴BC=AB=3，

∵∠PBO=∠BCO=90°，∴∠PBC+∠OBC=∠OBC+∠BOC=90°，∴∠PBC=∠BOC，∴△PBC∽△BOC，

∴ ,∴OC== =3，

∴在Rt△OCB中，OB= = =6，tan∠COB= =，

∴∠COB=60°，

∴S△OPB=×OP×BC=×（3+9）×3=18，S扇DOB= =6π，

∴S阴影=S△OPB﹣S扇DOB=18﹣6π；

②分两种情况：

i）当点E在上时，如图2，作直径AF，交⊙O于F，连接EF、EB，过O作OG⊥AE于G，过F作FH⊥EB于H，∴EG=AG=AE=×6=3，

∵∠AOB=120°，OA=OB，∴∠OAB=30°，∴∠BEF=∠OAB=30°，

Rt△OGE中，由①知：OA=6，∴OG= = =3，∴AG=OG，

∴△OGA是等腰直角三角形，∴∠OAE=45°，∴∠EBF=∠OAE=45°，

∵AF是⊙O的直径，∴∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴EF=AE=6，

Rt△EHF中，∠BEF=30°，∴FH=EF=3，

∴EH= = =3，

Rt△BHF中，∵∠EBF=45°，∴△BHF是等腰直角三角形，∴BH=FH=3，

∴BE=3+3，

ii）当点E在劣弧上时，如图3，

作直径AF，并⊙O于F，连接OB、OE、BF，过B作BH⊥OE于H，

∵AF为⊙O的直径，∴∠ABF=90°，

∵∠BAF=30°，∴∠F=∠BOF=60°，

∵OA=OE=6，AE=6，∴OA2+OE2=AE2，∴∠AOE=90°，∴∠EOF=90°，∴∠EOB=30°，

Rt△OHB中，BH=OB=3，∴OH==3，∴EH=6﹣3，

∴BE= = =3﹣3；

综上所述，BE的长为3+3或3﹣3；

故答案为：3﹣3 或3+3．