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【题目】如图,在四边形ABCD中,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E,F,BE=DF,AE=CF.

(1)求证:△AFD≌△CEB;

(2)若∠CBE=∠BAC,四边形ABCD是怎样的四边形?证明你的结论.

【答案】(1)证明见解析;(2)四边形ABCD为矩形,理由见解析.

【解析】试题分析:(1)求出AF=CE,再利用“边角边”证明即可;

(2)根据全等三角形对应边相等可得AD=BC,全等三角形对应角相等可得∠BCE=∠DAF,再根据内错角相等,两直线平行证明AD∥BC,然后判断出四边形ABCD是平行四边形,求出∠ABC=90°,最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明.

试题解析:(1)∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠AFD=∠CEB=90°.

∵AE=FC,∴AE+EF=FC+EF,∴AF=CE,

又∵BE=DF,∴△AFD≌△CEB;

(2)四边形ABCD为矩形.

∵△AFD≌△CEB,∴AD=BC,∠BCE=∠DAF.∴AD∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形,

∵∠CBE=∠BAC,又∵∠CBE+∠ACB=90°,∴∠BAC+∠ACB=90°,∴∠ABC=90°,

∴四边形ABCD为矩形.

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