Question

14．如图所示，△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD与CE相交于点P，∠ABC的平分线BF分别交AD、CE、AC于点M、N、F．
（1）试写出图中所有的等腰三角形，不要求证明；
（2）若DM=2cm，求DC的长．

Answer 1

分析 （1）由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难．
（2）BM=2MD，AM=BM，则AD=3ND=6cm，易证DC=AD=6cm．

解答 解：（1）△ADC，△AMB，△BNC，△MNP，△ABF．理由如下：
∵∠ABC=60°，∠BAC=75°，AD，CF分别是BC，AB边上的高
∴∠DAC=45°，
又∵∠ACB=45°
∴△ADC为等腰三角形．
∵∠ABC的平分线BE分别交AD，CF于M，N
∴∠ABM=30°，
又∵∠BAM=30°
∴△AMB为等腰三角形．
由题意可知∵∠NBC=∠NCB=30°
∴△BNC为等腰三角形．
∠PMN=∠MNP=60°
∴△MNP为等腰三角形．
∵∠ABF=30°，∠BAC=75°
∴∠BFA=75°
∴△ABF为等腰三角形．

（2）∵∠ABC=60°，AD⊥BC，
∴∠BAD=30°，
∵BF平分∠ABC
∴∠ABM=∠DBM=30°，
∴∠ABM=∠BAD=30°，
∴AM=BM=2DM=4cm，
∴AD=AM+DM=4+2=6cm，
∵∠BAC=75°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=75°-30°=45°，△ACD为等腰直角三角形，
∴DC=AD=6cm．

点评 本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．