【题目】在△ABC中,点P是平面内任意一点(不同于A、B、C),若点P与A、B、C中的某两点的连线的夹角为直角时,则称点P为△ABC的一个勾股点.
(1)如图1,若点P是△ABC内一点,∠A=55°,∠ABP=10°,∠ACP=25°,试说明点P是△ABC的一个勾股点;
(2)如图2,等腰△ABC的顶点都在格点上,点D是BC的中点,点P在直线AD上,请在图中标出使得点P是△ABC的勾股点时,点P的位置;
(3)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,BC=16,点D是AB的中点,点P在射线CD上.若点P是△ABC的勾股点,请求出CP的长;
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)7.2或12.8或20.
【解析】
(1)根据三角形内角和定理,证得∠CPB=90°即可;
(2)根据网格特点以及勾股点的定义进行解答即可;
(3)分情况讨论:①∠APC=90°时.②当∠CPB=90°时.③当∠APB=90°时.分别求解即可.
解:(1)在△ABC中,∠A=55°,
∴∠ACB+∠ABC=125°.
∵∠ACP=10°,∠ABP=25°,
∴∠PCB+∠PBC=90°.
∴∠CPB=90°,
∴点P是△ABC的一个勾股点.
(2)如图,点P1,P2,P3即为所求.
(3)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,BC=16.
∴AB=20,
又∵点D是AB的中点,
∴AD=BD=CD=10,
①∠APC=90°时,设CP=x,DP=10﹣x,
在Rt△APC和Rt△APD中,
∵AC2﹣CP2=AD2﹣DP2,即:122﹣x2=102﹣(10﹣x)2,
解得:x=7.2.
②当∠CPB=90°时,设CP=x,DP=x﹣10,
在Rt△BPD和Rt△BPC中,∵BC2﹣CP2=BD2﹣DP2,即162﹣x2=102﹣(x﹣10)2,
解得:x=12.8.
③当∠APB=90°时,
在Rt△APB中,DP=AB=10,
∴CP=20
综上所述,CP的长为7.2或12.8或20.
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【题目】如图,已知二次函数的图象经过点A(3,3)、B(4,0)和原点O.P为二次函数图象上的一个动点,过点P作x轴的垂线,垂足为D(m,0),并与直线OA交于点C.
(1)求直线OA和二次函数的解析式;
(2)当点P在直线OA的上方时,
①当PC的长最大时,求点P的坐标;
②当S△PCO=S△CDO时,求点P的坐标.
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【题目】感知:如图①,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,点P在BC边上,当∠APD=90°时,可知△ABP∽△PCD.(不要求证明)
探究:如图②,在四边形ABCD中,点P在BC边上,当∠B=∠C=∠APD时,求证:△ABP∽△PCD.
拓展:如图③,在△ABC中,点P是边BC的中点,点D、E分别在边AB、AC上.若∠B=∠C=∠DPE=45°,BC=6,CE=4,则DE的长为 .
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【题目】如图,某建筑工程队利用一面墙(墙的长度不限),用40米长的篱笆围成一个长方形的仓库.
(1)求长方形的面积是150平方米,求出长方形两邻边的长;
(2)能否围成面积220平方米的长方形?请说明理由.
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【题目】如图,等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点,M为EF的中点,延长AM交BC于点N,连接DM,下列结论:①AE=AF;②DF=DN;③AE=CN;④△AMD和△DMN的面积相等,其中错误的结论个数是( )
A.3个B.2个C.1个D.0个
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【题目】如图,在△ABC中,已知点O是边AB、AC垂直平分线的交点,点E是∠ABC、∠ACB角平分线的交点,若∠O+∠E=180°,则∠A=_____度.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,过点B(6,0)的直线AB与直线OA相交于点A(4,2).
(1)求直线AB的函数表达式;
(2)若在y轴上存在一点M,使MA+MB的值最小,请求出点M的坐标;
(3)在x轴上是否存在点N,使△AON是等腰三角形?如果存在,直接写出点N的坐标;如果不存在,说明理由.
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