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【题目】在△ABC中,点P是平面内任意一点(不同于ABC),若点PABC中的某两点的连线的夹角为直角时,则称点P为△ABC的一个勾股点.

1)如图1,若点P是△ABC内一点,∠A=55°,∠ABP=10°,∠ACP=25°,试说明点P是△ABC的一个勾股点;

2)如图2,等腰△ABC的顶点都在格点上,点DBC的中点,点P在直线AD上,请在图中标出使得点P是△ABC的勾股点时,点P的位置;

3)在RtABC中,∠ACB=90°,AC=12BC=16,点DAB的中点,点P在射线CD.若点P是△ABC的勾股点,请求出CP的长;

【答案】1)见解析;(2)见解析;(3)7.212.820

【解析】

1)根据三角形内角和定理,证得∠CPB90°即可;

2)根据网格特点以及勾股点的定义进行解答即可;

3)分情况讨论:①∠APC90°时.②当∠CPB90°时.③当∠APB90°时.分别求解即可.

解:(1)在ABC中,∠A55°

∴∠ACB+ABC125°

∵∠ACP10°,∠ABP25°

∴∠PCB+PBC90°

∴∠CPB90°

∴点PABC的一个勾股点.

2)如图,点P1P2P3即为所求.

3)在RtABC中,∠ACB90°AC12BC16

AB20

又∵点DAB的中点,

ADBDCD10

①∠APC90°时,设CPxDP10x

RtAPCRtAPD中,

AC2CP2AD2DP2,即:122x2102﹣(10x2

解得:x7.2

②当∠CPB90°时,设CPxDPx10

RtBPDRtBPC中,∵BC2CP2BD2DP2,即162x2102﹣(x102

解得:x12.8

③当∠APB90°时,

RtAPB中,DPAB10

CP20

综上所述,CP的长为7.212.820

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