Question

【题目】如图，已知的外角的平分线交边的垂直平分线于点.于点，于点.

（1）求证：

（2）若，，求的长

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）3．

【解析】

（1）连接PB、PC，根据线段垂直平分线的性质得到PB=PC，根据角平分线的性质得到PD=PE，证明Rt△BPD≌Rt△CPE，根据全等三角形的性质可得；
（2）证明Rt△ADP≌Rt△AEP，得到AD=AE，根据题意列出方程，解方程即可．

（1）证明：连接PB、PC，

∵PQ是BC边的垂直平分线，
∴PB=PC，
∵AP平分∠DAC，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴PD=PE，
在Rt△BPD和Rt△CPE中，
，
∴Rt△BPD≌Rt△CPE，
∴BD=CE；
（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，
，
∴Rt△ADP≌Rt△AEP，
∴AD=AE，

∵BD=CE，，，
∴AD+6=12-AD，
解得，AD=3．