Question

【题目】如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上，BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．

（1）用两种不同的方法表示出长方形ACDF的面积S，并探求a，b，c之间的等量关系（需要化简）

（2）请运用（1）中得到的结论，解决下列问题：

①求当c＝10，a＝6时，求S的值；

②当c﹣b＝1，a＝5时，求S的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①112；②204.

【解析】

（1）方法一可直接求长方形ACDF的面积；方法二可求四个三角形面积的和；根据面积相等化简可得a2+b2＝c2；

（2）①根据（1）中结论可求出b＝8，然后根据S＝ab+b2计算即可；

②根据（1）中结论可求出b＝12，然后根据S＝ab+b2计算即可.

解：（1）由题意，得

方法一：S1＝b（a+b）＝ab+b2；

方法二：S2＝ab+ab+（b﹣a）（b+a）+c2＝ab+b2﹣a2+c2，

∵S1＝S2，

∴ab+b2＝ab+b2﹣a2+c2，

∴2ab+2b2＝2ab+b2﹣a2+c2，

∴a2+b2＝c2；

（2）∵a2+b2＝c2，且c＝10，a＝6，

∴b＝8，

∴S＝ab+b2＝6×8+64＝112，

答：S的值为112；

②∵a2+b2＝c2，

∴a2＝c2﹣b2＝（c+b）（c﹣b）．

又∵c﹣b＝1，a＝5，

∴c+b＝25，

∴b＝12，

∴S＝ab+b2＝5×12+122＝204．