【题目】如图，
是边长为12的等边三角形，点
是
边上一动点，由点
向点
运动（与、不重合），点
是
延长线上一点，与点同时以相同的速度由点
向延长线方向运动（点不与点重合），过点作
于
，连接
交
于点
．
（1）当
时，求
的长；
（2）证明：在运动过程中，点是线段的中点；
（3）点，点运动过程中线段
的长是否为定值？如果线段的长为定值，求出线段的长；如果线段的长不为定值，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）见解析；（3）线段
的长为定值，
【解析】
（1）设
，则
，先根据等边三角形的性质和
可得
，再根据直角三角形的性质求解即可；
（2）如图（见解析），过点
作
，交
于点
，先根据平行线的性质得出
，再根据等边三角形的判定与性质得出
，从而可得
，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（3）先根据题（2）可知
，再根据线段的和差、
即可得出答案．
（1）设，则
∵
是等边三角形
∴
∵，
∴
则在
中，
即
解得
故AM的长为4；
（2）如图，过点作，交于点
∴
∴
是等边三角形
∴
∴
在
和
中，
∴
∴
即在运动过程中，点
是线段
的中点；
（3）线段的长为定值．求解过程如下：
由（2）知，是等边三角形
∵
∴
由（2）的结论可知：
∴
又∵
∴
故线段的长为定值6．
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【题目】如图，
，
，且
，
，点
以每秒
的速度从点
开始沿射线
运动，同时点
在线段
上由点
向终点
运动．设运动时间为
秒．
（1）当
时，
________
，
__________．
（2）如图①，当点与点经过几秒时，使得
与
全等？此时，点的速度是多少？（写出求解过程）
（3）如图②，是否存在点，使得
是等腰三角形？若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由．
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【题目】用若干个小立方块搭成一个几何体，使它从正面看与从左面看都是如图的同一个图．通过实际操作，并与同学们讨论，解决下列问题：
（1）所需要的小立方块的个数是多少？你能找出几种？
（2）画出所需个数最少和所需个数最多的几何体从上面看到的图，并在小正方形里注明在该位置上小立方块的个数．
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【题目】如图，平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(2，－3)，C(4，－2).
(1)在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1.
(2)作出△A1B1C1向左平移4个单位长度后得到的△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标_____.
(3)△A2B2C2的面积是____.
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【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，连接EF交AP于点G．给出以下四个结论，其中正确的结论是_____．
①AE＝CF，
②AP＝EF，
③△EPF是等腰直角三角形，
④四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半．
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【题目】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△ABC，AB⊥BC，AB＝BC，点C在第一象限．已知点A（m，0），B（0，n）（n＞m＞0），点P在线段OB上，且OP＝OA．
（1）点C的坐标为 （用含m，n的式子表示）
（2）求证：CP⊥AP．
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【题目】如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，
（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：
ɑ | 30° | 40° | 50° | 60° |
β | 120° | 130° | 140° | 150° |
γ | 150° | 140° | 130° | 120° |
猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：
（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．
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