Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，连接EF交AP于点G．给出以下四个结论，其中正确的结论是_____．

①AE＝CF，

②AP＝EF，

③△EPF是等腰直角三角形，

④四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半．

Answer 1

【答案】①③④．

【解析】

根据等腰直角三角形的性质得：∠B=∠C=45°，AP⊥BC，AP=BC，AP平分∠BAC．所以可证∠C=∠EAP；∠FPC=∠EPA；AP=PC．即证得△APE与△CPF全等．根据全等三角形性质判断结论是否正确，根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的面积等于△ABC的面积的一半．

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，

∴∠B＝∠C＝45°，AP⊥BC，AP＝BC＝PC＝BP，∠BAP＝∠CAP＝45°，

∵∠APF+∠FPC＝90°，∠APF+∠APE＝90°，

∴∠FPC＝∠EPA．

∴△APE≌△CPF（ASA），

∴AE＝CF；EP＝PF，即△EPF是等腰直角三角形；故①③正确；

S△AEP＝S△CFP，

∵四边形AEPF的面积＝S△AEP+S△APF＝S△CFP+S△APF＝S△APC＝S△ABC，

∴四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半，故④正确

∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，

∴AP＝BC，

∵EF不是△ABC的中位线，

∴EF≠AP，故②错误；

故答案为：①③④．