Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC＝60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N（点M在点N的上方）．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒（0≤t≤6），试求S与t的函数表达式；

（3）在题（2）的条件下，是否存在某一时刻，使得△OMN的面积与OABC的面积之比为3：4？如果存在，请求出t的取值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（2，2），B（6，2）；（2）S＝t2；S＝t；S＝﹣t2+3t；（3）不存在，理由见解析；不存在某一时刻，使得△OMN的面积与OABC的面积之比为3：4．

【解析】

（1）根菱形性质得出OA＝AB＝BC＝CO＝4，过A作AD⊥OC于D，求出AD、OD，即可得出答案；

（2）有三种情况：①当0≤t≤2时，直线l与OA、OC两边相交，②当2＜t≤4时，直线l与AB、OC两边相交，③当4＜t≤6时，直线l与AB、BC两边相交，画出图形求出即可；

（3）分为以上三种情况，求出得到的方程的解，看看是否在所对应的范围内，即可进行判断．

解：（1）∵四边形OABC为菱形，点C的坐标是（4，0），

∴OA＝AB＝BC＝CO＝4，

过A作AD⊥OC于D，

∵∠AOC＝60°，

∴OD＝2，AD＝，

∴A（2，），B（6，）；

（2）直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况：①如图1，

当0≤t≤2时，直线l与OA、OC两边相交，

∵MN⊥OC，

∴ON＝t，

∴MN＝ONtan60°＝t，

∴S＝ONMN＝t2；

②当2＜t≤4时，直线l与AB、OC两边相交，如图2，

S＝ONMN＝×t×＝t；

③当4＜t≤6时，直线l与AB、BC两边相交，如图3，

设直线l与x轴交于H，

MN＝，

∴S＝MNOH＝（t）t＝；

（3）答：不存在，

理由是：假设存在某一时刻，使得△OMN的面积与OABC的面积之比为3：4，

菱形AOCB的面积是4×2＝8,

①t2：8＝3：4，

解得：t＝±2，

∵0≤t≤2，

∴此时不符合题意舍去；

②t：8＝3：4，

解得：t＝6（舍去）；

③（）：8＝3：4，

此方程无解．

综合上述，不存在某一时刻，使得△OMN的面积与OABC的面积之比为3：4．