【题目】如图,将抛物线M1:y=ax2+4x向右平移3个单位,再向上平移3个单位,得到抛物线M2,直线y=x与M1的一个交点记为A,与M2的一个交点记为B,点A的横坐标是﹣3.
(1)求a的值及M2的表达式;
(2)点C是线段AB上的一个动点,过点C作x轴的垂线,垂足为D,在CD的右侧作正方形CDEF.
①当点C的横坐标为2时,直线y=x+n恰好经过正方形CDEF的顶点F,求此时n的值;
②在点C的运动过程中,若直线y=x+n与正方形CDEF始终没有公共点,求n的取值范围(直接写出结果).
【答案】(1)M2的顶点为(1,﹣1),M2的表达式为y=x2﹣2x;(2)①n=﹣2;②n>3,n<﹣6.
【解析】
(1)将点A横坐标代入y=x,即可得出点A纵坐标,从而得出点A的坐标,根据点A在抛物线M1:y=ax2+4x上,代入即可得出a的值,将抛物线M1化为顶点式,根据平移的原则即可得出抛物线M2;
(2)①把点C横坐标代入y=x,即可得出点C坐标,从而得出点F坐标,把点F代入y=x+n即可得出n的值;
②根据直线y=x+n与正方形CDEF始终没有公共点,直接可得出n的取值范围.
(1)∵点A在直线y=x,且点A的横坐标是﹣3,
∴A(﹣3,﹣3),
把A(﹣3,﹣3)代入y=ax2+4x,
解得a=1,
∴M1:y=x2+4x,顶点为(﹣2,﹣4),
∴M2的顶点为(1,﹣1),
∴M2的表达式为y=x2﹣2x;
(2)①由题意,C(2,2),
∴F(4,2),
∵直线y=x+n经过点F,
∴2=4+n,
解得n=﹣2;
②将y=x代入y=x2﹣2x,得
x2﹣2x=x,解得:x1=0,x2=3,
∴点B(3,3),
当点C与点A重合时,点D的坐标为(-3,0),
此时有-3+n=0,解得:n=3;
当点C与点B重合时,点E的坐标为(6,0),
此时有6+n=0,解得:n=-6,
综上可知,当直线y=x+n与正方形CDEF始终没有公共点时,n>3或n<﹣6.
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【题目】如图,一次函数y=kx+3的图象分别交x轴、y轴于点B、点C,与反比例函数的图象在第四象限的相交于点P,并且PA⊥y轴于点A,已知A (0,﹣6),且S△CAP=18.
(1)求上述一次函数与反比例函数的表达式;
(2)设Q是一次函数y=kx+3图象上的一点,且满足△OCQ的面积是△BCO面积的2倍,求出点Q的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为菱形,点C的坐标为(4,0),∠AOC=60°,垂直于x轴的直线l从y轴出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).
(1)求A、B两点的坐标;
(2)设△OMN的面积为S,直线l运动时间为t秒(0≤t≤6),试求S与t的函数表达式;
(3)在题(2)的条件下,是否存在某一时刻,使得△OMN的面积与OABC的面积之比为3:4?如果存在,请求出t的取值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头,A在B的正东方向,一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处,此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向.求此时小船到B码头的距离(即BP的长)和A、B两个码头间的距离(结果都保留根号).
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【题目】如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DE∥AC且DE=AC,连接AE交OD于点F,连接CE、OE.
(1)求证:OE=CD;
(2)若菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,求AE的长.
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【题目】在平行四边形ABCD中,以AB为边作等边△ABE,点E在CD上,以BC为边作等边△BCF,点F在AE上,点G在BA延长线上且FG=FB.
(1)若CD=6,AF=3,求△ABF的面积;
(2)求证:BE=AG+CE.
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【题目】已知抛物线(是常数)经过点.
(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)P(m,t)为抛物线上的一个动点,关于原点的对称点为.
①当点落在该抛物线上时,求的值;
②当点落在第二象限内,取得最小值时,求的值.
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【题目】如图,把可以自由转动的圆形转盘A,B分别分成3等份的扇形区域,并在每一个小区域内标上数字.小明和小颖两个人玩转盘游戏,游戏规则是:同时转动两个转盘,当转盘停止时,若指针两区域的数字均为奇数,则小明胜;若指针两区域的数字均为偶数,则小颖胜;若有指针落在分割线上,则无效,需重新转动转盘.这个游戏规则对双方公平吗?请说明理由.
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【题目】图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图,可伸缩式灯臂AO长为40 cm,与水平面所形成的夹角∠OAM恒为75°(不受灯臂伸缩的影响).由光源0射出的光线沿灯罩形成光线OC,OB,与水平面所形成的夹角∠OCA,∠OBA分别为90°和30°.
(1)求该台灯照亮桌面的宽度BC.(不考虑其他因素,结果精确到1 cm,参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26, ≈1.73)
(2)若灯臂最多可伸长至60 cm,不调整灯罩的角度,能否让台灯照亮桌面85 cm的宽度?
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