Question

【题目】在平行四边形ABCD中，以AB为边作等边△ABE，点E在CD上，以BC为边作等边△BCF，点F在AE上，点G在BA延长线上且FG＝FB．

（1）若CD＝6，AF＝3，求△ABF的面积；

（2）求证：BE＝AG+CE．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）根据△ABE为等边三角形，就可以求出△ABE在边AE上的高，因此就可以计算出S△ABF；

（2）首先作FH⊥AB于H，CJ⊥AE交AE的延长线于J，再证明△ABF≌△EBC（SAS），同时证明△FHA≌△CJE（AAS），从而证明Rt△FGH≌Rt△CJF（HL），因此可以得到EF＝AG，进而证明BE＝AE＝AF+EF。

（1）解：∵△ABE是等边三角形，

∴∠BAF＝60°，AB＝AE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD＝6，

∴AE＝AB＝6，

∵AF＝3，

∴AF＝EF，

∴S△ABF＝S△ABE＝62＝．

（2）作FH⊥AB于H，CJ⊥AE交AE的延长线于J．

∵△ABE，△FBC都是等边三角形，

∴BA＝BE，BF＝BC，∠ABE＝∠FBC＝60°，

∴∠ABF＝∠EBC，

∴△ABF≌△EBC（SAS），

∴AF＝EC，

∵AB∥CD，

∴∠CEJ＝∠FAH，

∵∠FHA＝∠J＝90°，

∴△FHA≌△CJE（AAS），

∴FH＝CJ，AH＝EJ，

∵FB＝FG＝FC，FH＝CJ，

∴Rt△FGH≌Rt△CJF（HL），

∴GH＝FJ，∵AH＝EJ，

∴EF＝AG，

∵BE＝AE＝AF+EF，

∴BE＝RC+AG．