Question

15．二次函数图象如图，下列结论：①abc＜0；②2a-b=0；③对于任意实数m，都满足am²+bm≤a+b；④a-b+c＞0；⑤若ax${\;}_{1}^{2}$+bx₁=ax${\;}_{2}^{2}$+bx₂，且x₁≠x₂，则x₁+x₂=2．其中正确的有①③⑤．（把正确的序号都填上）

Answer 1

分析 ①只需根据抛物线的开口、对称轴的位置、与y轴的交点位置就可得到a、b、c的符号，从而得到abc的符号；②只需利用抛物线对称轴方程x=-$\frac{b}{2a}$=1就可得到2a与b的关系；③只需结合图象就可得到当x=1时y=a+b+c最大，从而解决问题；④只需根据抛物线的对称性就可得到x=-1与x=3所对应的函数值相同，然后根据图象确定x=3所对应的函数值的符号，即可得到x=-1所对应的函数值的符号；⑤由ax${\;}_{1}^{2}$+bx₁=ax${\;}_{2}^{2}$+bx₂可得ax${\;}_{1}^{2}$+bx₁+c=ax${\;}_{2}^{2}$+bx₂+c，然后利用抛物线的对称性即可解决问题．

解答 解：①由抛物线的开口向下可得a＜0，
由对称轴在y轴的右边可得x=-$\frac{b}{2a}$＞0，从而有b＞0，
由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可得c＞0，
则abc＜0，故①正确；
②由对称轴方程x=-$\frac{b}{2a}$=1得b=-2a，即2a+b=0，故②错误；
③由图可知，当x=1时，y=a+b+c最大，
则对于任意实数m，都满足am²+bm+c≤a+b+c，即am²+bm≤a+b，故③正确；
④由抛物线的对称性可得x=-1与x=3所对应的函数值相同，
由图可知x=3所对应的函数值为负，
因而x=-1所对应的函数值为负，即a-b+c＜0，故④错误；
⑤若ax${\;}_{1}^{2}$+bx₁=ax${\;}_{2}^{2}$+bx₂，且x₁≠x₂，
则ax${\;}_{1}^{2}$+bx₁+c=ax${\;}_{2}^{2}$+bx₂+c，
所以抛物线上的点（x₁，y₁）与（x₂，y₂）关于抛物线的对称轴对称，
所以1-x₁=x₂-1，即x₁+x₂=2，故⑤正确．
故答案为①③⑤．

点评 本题主要考查了抛物线的性质（开口、对称轴、对称性、最值性等）、抛物线上点的坐标特征等知识，运用数形结合的思想即可解决问题．