Question

【题目】尝试探究：如图，在中，，，E，F分别是BC，AC上的点，且，则______；

类比延伸：如图，若将图中的绕点C顺时针旋转，则在旋转的过程中，值是否发生变化？请仅就图的情形写出推理过程；

拓展运用：若，，在旋转过程中，当B，E，F三点在同一直线上时，请直接写出此时线段AF的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不变化，理由见解析；（3）AF的长为3-或3+．

【解析】

（1）根据直角三角形30°角的性质即可解决问题；
（2）只要证明△ACF∽△BCE，可得 ，由此即可解决问题；
（3）分两种情形画出图形分别解决问题即可；

（1）如图①中，

∵在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，EF∥AB，
∴∠CFE=∠A=30°，
∴CF=EC，AC=BC，
∴AF=AC-CF=BC-EC=（BC-EC）=BE，
∴ =，
故答案为．
（2）不变化，
理由如下：如图②中，

由（1）及旋转的性质知，∠CFE=∠CAB=30°．
∠FCE=∠ACB=90°．
在Rt△CEF中，tan∠CEF==，
在Rt△CBA中，tan∠ABC= =，
∴ ，
又∵∠FCE=∠ACB=90°，∠FCA+∠ACE=∠FCE，
∠ACE+∠BCE=∠ACB，
∴∠FCA=∠ECB．
∴△ACF∽△BCE，
∴=．
（3）①如图，由△ECB∽△FCA，可得：AF：BE=CF：EC=．

设BE=a，则AF=a，
∵B，E，F共线，
∴∠BEC=∠AFC=120°，
∵∠EFC=30°，
∴∠AFB=90°，
在Rt△ABF中，AB=2BC=6，AF=a，BF=EF+BE=4+a，
∴（a）2+（4+a）2=62，
∴a=-1+或-1-（舍弃），
∴AF=a=3-
②如图，当E，B，F共线时，同法可证：AF=BE，∠AFB=90°，

在Rt△ABF中，62=（4-a）2+（a）2，
解得a=1+或1-（舍弃），
∴AF=a=3+．
AF的长为3-或3+．