Question

20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，中位线EF分别交AC、BD于N、M．
（1）求证：MN=$\frac{1}{2}$（BC-AD）；
（2）若上底AD=8，MN=3，求EF及BC的长．

Answer 1

分析 （1）根据梯形的中位线性质得到EF∥AD∥BC，AE=BE，DF=CF，则可判断EM为△BAD的中位线，所以EM=$\frac{1}{2}$AD，同理可得EN=$\frac{1}{2}$BC，把两式相减即可得到结论；
（2）利用（1）的结论可计算出BC，然后根据梯形的中位线性质计算EF的长．

解答 （1）证明：∵EF为梯形的中位线，
∴EF∥AD∥BC，AE=BE，DF=CF，
∵EM∥AD，BE=AE，
∴EM为△BAD的中位线，
∴EM=$\frac{1}{2}$AD，
同理可得EN=$\frac{1}{2}$BC，
∴EN-EM=$\frac{1}{2}$BC-$\frac{1}{2}$AD，
∴MN=$\frac{1}{2}$（BC-AD）；
（2）解：∵MN=$\frac{1}{2}$（BC-AD）；，
即3=$\frac{1}{2}$（BC-8），
∴BC=14，
∴EF=$\frac{1}{2}$（AD+BC）=$\frac{1}{2}$×（8+14）=11．

点评 本题考查了梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．也考查了三角形中位线性质．