【题目】正方形中,点是对角线的中点,是对角线上一动点,过点作于点.如图,当点与点重合时,显然有.
()如图,若点在线段上(不与点、重合),且交于点.
求证:.
()如图所示建立直角坐标系,且正方形的边长为,若点在线段上(不与点、重合),,且交直线于点.请在图中作出示意图,并且求出当是一个等腰三角形时,点的坐标为__________(直接写出答案).
【答案】()见解析()
【解析】试题分析:
(1)如图,连接PD,由正方形是关于对角线对称的轴对称图形和点P在AC上可得,;由,可得,结合,可得,从而可得,再结合即可得到DF=EF;
(2)如图2,先按要求画出图形,再过P作PG⊥x轴于点G,PH⊥y轴于点H,则由已知易得PG=PH=GC=HC,△BPG≌△EPH,从而可得EH=BG,设PG=a,则可得:GC=CH=a,PC=,BG=EH=1-a,CE=1-2a;由△PCE是等腰三角形和∠PCE是钝角可得:PC=CE,从而可得,由此求得a的值即可得到点P的坐标了.
试题解析:
()如图,连接,
∵ 四边形是正方形,点P在对角线AC上,
∴ 由正方形关于对角线AC对称可得:,,
∵ ,,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∵ .
()点坐标为,
过点作轴,轴,
∵ 四边形是正方形,为对角线,
∴ ,,
又∵,
∴ ,
∴ ≌,
∴ ,
设,则,PC=,
∴ ,
∴ ,
∵ 为钝角,
∴ 当为等腰三角形时, ,
∵ ,,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ 点坐标为.
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【题目】Rt△ABC中,∠C=90°,点D,E分别是△ABC边AC,BC上的点,点P是一动点.令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
(1)若点P在线段AB上,如图①所示,且∠α=50°,则∠1+∠2=________°;
(2)若点P在边AB上运动,如图②所示,则∠α,∠1,∠2之间的关系为:____________;
(3)若点P运动到边AB的延长线上,如图③所示,则∠α,∠1,∠2之间有何关系?猜想并说明理由;
(4)若点P运动到△ABC形外,如图④所示,则∠α,∠1,∠2之间的关系为:____________.
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【题目】有这样一个问题:探究函数的图象与性质.小美根据学习函数的经验,对函数的图象与性质进行了探究.下面是小美的探究过程,请补充完整:
()函数的自变量的取值范围是__________.
()下表是与的几组对应值.
如图,在平面直角坐标系中,描出以上表中各对对应值为坐标的点.
根据描出的点,画出该函数的图象,标出函数的解析式.
()结合函数的图象,写出该函数的一条性质:__________.
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【题目】在一条直线上依次有、、三个港口,甲、乙两船同时分别从、港口出发,沿直线匀速驶向港,最终达到港.设甲、乙两船行驶后,与港的距离分别为、,、与的函数关系如图所示.
()填空:、两港口间的距离为__________,__________.
()求图中点的坐标.
()若两船的距离不超过时能够相互望见,求甲、乙两船可以相互望见时的取值范围.
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【题目】如图,已知∠MON=30°,点A1,A2,A3,…在射线ON上,点B1,B2,B3,…在射线OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,…均为等边三角形,若OA1=2,则△A5B5A6的边长为( )
A. 8 B. 16 C. 24 D. 32
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【题目】操作与探究.
(1)分别画出图①中“”和“”关于直线l的对称图形(画出示意图即可).
(2)图②中小冬和小亮上衣上印的字母分别是什么?
(3)把字母“”和“”写在薄纸上,观察纸的背面,写出你看到的字母背影.
(4)小明站在五个学生的身后,这五个学生正向前方某人用手势示意一个五位数,从小明站的地方看(如图③所示),这个五位数是23456.请你判断出他们示意的真实五位数是多少?
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【题目】某自行车厂计划一周生产自行车1400辆,平均每天生产200辆,但由于种种原因,实际每天生产量与计划量相比有出入.下表是某周的生产情况(超产记为正、减产记为负):
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
增减 | +5 | ﹣2 | ﹣4 | +12 | ﹣10 | +16 | ﹣9 |
(1)根据记录的数据可知该厂星期六生产自行车______辆;
(2)根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车_____辆;
(3)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车_____辆;
(4)该厂实行每周计件工资制,每生产一辆车可得50元,若超额完成任务,则超过部分每辆另奖15元;少生产一辆扣20元,那么该厂工人这一周的工资总额是多少元?
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【题目】已知函数y=x+1,反比例函数y=.
(1)当k为何值时,这两个函数的图象有两个交点?
(2)当k为何值时,这两个函数的图象没有交点?
(3)这两个函数的图象能否只有一个交点?若有,求出这个交点坐标;若没有,请说明理由.
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【题目】如图,将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,若两个三角形重叠部分的面积为1cm2,则它移动的距离AA′等于( )
A. 0.5cm B. 1cm C. 1.5cm D. 2cm
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