Question

【题目】如图乙，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．

（1）如图甲，将△ADE绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接BD、BE，则下列给出的四个结论中，其中正确的是哪几个　 　．（回答直接写序号）

①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2（AD2+AB2）

（2）若AB＝6，AD＝3，把△ADE绕点A旋转：

①当∠CAE＝90°时，求PB的长；

②直接写出旋转过程中线段PB长的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）①②③；（2）①PB＝或；②PB长的最大值是3+3，PB长的最小值是3﹣3．

【解析】

（1）①由条件证明△ABD≌△ACE，就可以得到结论②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD＝∠ACE，就可以得出∠BDC＝90°，进而得出结论；③由条件知∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝45°，由∠ABD＝∠ACE就可以得出结论；④△BDE为直角三角形就可以得出BE2＝BD2+DE2，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，就有BC2＝BD2+CD2≠BD2就可以得出结论．

（2）①分两种情形a、如图乙﹣1中，当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝3．由△PEB∽△AEC，得，由此即可解决问题．b、如图乙﹣2中，当点E在BA延长线上时，BE＝9．解法类似．

②a、如图乙﹣3中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．b、如图乙﹣4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小，分别求出PB即可．

（1）解：如图甲：

①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，

即∠BAD＝∠CAE．

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE，∴①正确．

②∵△ABD≌△ACE，

∴∠ABD＝∠ACE．

∵∠CAB＝90°，

∴∠ABD+∠AFB＝90°，

∴∠ACE+∠AFB＝90°．

∵∠DFC＝∠AFB，

∴∠ACE+∠DFC＝90°，

∴∠FDC＝90°．

∴BD⊥CE，∴②正确．

③∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠ABC＝45°，

∴∠ABD+∠DBC＝45°．

∴∠ACE+∠DBC＝45°，∴③正确．

④∵BD⊥CE，

∴BE2＝BD2+DE2，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，

∴DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，

∵BC2＝BD2+CD2≠BD2，

∴2AB2＝BD2+CD2≠BD2，

∴BE2≠2（AD2+AB2），∴④错误．

故答案为①②③．

（2）①解：a、如图乙﹣1中，当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝3．

∵∠EAC＝90°，

∴CE＝，

同（1）可证△ADB≌△AEC．

∴∠DBA＝∠ECA．

∵∠PEB＝∠AEC，

∴△PEB∽△AEC．

∴，

∴，

∴PB＝．

b、如图乙﹣2中，当点E在BA延长线上时，BE＝9．

∵∠EAC＝90°，

∴CE＝，

同（1）可证△ADB≌△AEC．

∴∠DBA＝∠ECA．

∵∠BEP＝∠CEA，

∴△PEB∽△AEC，

∴，

∴，

∴PB＝．

综上，PB＝或．

②解：a、如图乙﹣3中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．

理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大）

∵AE⊥EC，

∴EC＝，

由（1）可知，△ABD≌△ACE，

∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3，

∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，

∴四边形AEPD是矩形，

∴PD＝AE＝2，

∴PB＝BD+PD＝3+3．

综上所述，PB长的最大值是3+3．

b、如图乙﹣4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．

理由：此时∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最小，因此PB最小）

∵AE⊥EC，

∴EC＝，

由（1）可知，△ABD≌△ACE，

∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3，

∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，

∴四边形AEPD是矩形，

∴PD＝AE＝4，

∴PB＝BD﹣PD＝3﹣3．

综上所述，PB长的最小值是3﹣3．