Question

【题目】已知：在△ABC中，D为BC边上一点，B，C两点到直线AD的距离相等．
（1）如图1，若△ABC是等腰三角形，AB=AC，则点D的位置在；

（2）如图2，若△ABC是任意一个锐角三角形，猜想点D的位置是否发生变化，请补全图形并加以证明；

（3）如图3，当△ABC是直角三角形，∠A=90°，并且点D满足（2）的位置条件，用等式表示线段AB，AC，AD之间的数量关系并加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）点D为线段BC的中点
（2）证明：如图1，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，

∵BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，

∴∠3=∠4=90°，

在△BED和△CFD中，

∴△BED≌△CFD．

∴BD=DC．即点D是BC边的中点．

（3）证明：如图2，延长AD到点H使DH=AD，连接HC．

∵点D是BC边的中点，

∴BD=DC．

在△ABD和△HCD中，

∴△ABD≌△HCD．

∴∠1=∠3，AB=CH．

∵∠A=90°，

∴∠1+∠2=90°．

∴∠2+∠3=90°．

∴∠ACH=90°．

∴AC2+CH2=AH2．

又∵DH=AD，

∴AC2+AB2=（2AD）2．

∴AC2+AB2=4AD2．

【解析】（1）根据等腰三角形底边上的三线合一知D点在BC的中点处；
（2）作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，根据垂直的定义得出∠3=∠4=90°，然后利用AAS判断出△BED≌△CFD．根据全等三角形对应边相等得出BD=DC．即点D是BC边的中点；
（3）延长AD到点H使DH=AD，连接HC．根据中点定义得BD=DC，然后由SAS判断出△ABD≌△HCD，根据全等三角形的性质得∠1=∠3，AB=CH．然后根据等量代换得出∠ACH=90°．根据够勾股定理得出AC2+CH2=AH2．又因DH=AD，故AC2+AB2=（2AD）2，即AC2+AB2=4AD2．