Question

13．二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac-b²＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④abc＞0，其中正确结论是①③④．（填序号）

Answer 1

分析 由抛物线与x轴有两个交点得到b²-4ac＞0；根据对称轴是x=-1，可得x=-2、0时，y的值相等，所以4a-2b+c＞0；根据-$\frac{b}{2a}$=-1，得出b=2a，再根据a+b+c＜0，可得$\frac{1}{2}$b+b+c＜0，所以3b+2c＜0，根据抛物线开口判断a＜0，然后根据对称轴判断b＜0，抛物线交y轴于正半轴，c＞0，可得abc＞0，据此判断即可．

解答 解：∵图象与x轴有两个交点，
∴方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴b²-4ac＞0，
∴4ac-b²＜0，①正确；
∵当x=-2时，y＞0，
∴4a-2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，②错误；
∴-$\frac{b}{2a}$=-1，
∴b=2a，
∵a+b+c＜0，
∴$\frac{1}{2}$b+b+c＜0，3b+2c＜0，
∴③是正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=-1，b=2a，故b＜0；
抛物线交y轴于正半轴，得：c＞0；
∴abc＞0；④正确．
故答案为①③④．

点评 本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b²-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b²-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．