Question

14．如图：在四边形ABCD中，BC＞DA，AD=DC，BD平分∠ABC，DH⊥BC于H，求证：
（1）∠DAB+∠C=180° 
（2）BH=$\frac{1}{2}$（AB+BC）

Answer 1

分析 （1）过D作DE⊥AB，交BA延长线于E，由角平分线的性质得出DH=DE，由HL证得Rt△ADE≌Rt△CDH，得出对应角相等，即可得出结论；
（2）由HL证得Rt△BDE≌Rt△BDH，得出BE=BH，再由Rt△ADE≌Rt△CDH，得出AE=CH，即可得出结论．

解答 证明：（1）过D作DE⊥AB，交BA延长线于E，如图所示：
∵BD平分∠ABC，DH⊥BC，
∴DH=DE，
在Rt△ADE和Rt△CDH中，$\left\{\begin{array}{l}{DH=DE}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL），
∴∠C=∠DAE，
∵∠DAB+∠DAE=180°，
∴∠DAB+∠C=180°；
（2）在Rt△BDE和Rt△BDH中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DH}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△BDH（HL），
∴BE=BH，
∵Rt△ADE≌Rt△CDH，
∴AE=CH，
∴AB+BC=AB+BH+CH=BE+BH=2BH，
∴BH=$\frac{1}{2}$（AB+BC）．

点评 本题考查了角平分线的性质、全等直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等直角三角形的判定与性质是解决问题的关键．