Question

【题目】抛物线y=x2﹣2x﹣15，y=4x﹣23，交于A、B点（A在B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（　　）

A. 10 B. 7 C. 5 D. 8

Answer 1

【答案】A

【解析】

首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x=1的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与直线x=1的交点是E，与x轴的交点是F，而且易得A′B′即是所求的长度．

如图 ，

∵抛物线y=x2-2x-15与直线y=4x-23交于A、B两点，

∴x2-2x-15=4x-23，

解得：x=2或x=4，

当x=2时，y=4x-23=-15，

当x=4时，y=4x-23=-7，

∴点 的坐标为（2，-15），点B的坐标为（4，-7），

∵抛物线对称轴方程为：x=-=1，

作点A关于抛物线的对称轴x=1的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，

连接A′B′，

则直线A′B′与对称轴（直线x=1）的交点是E，与x轴的交点是F，

∴BF=B′F，AE=A′E，

∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，延长B′B，A′A相交于C，

∴A′C=4，B′C=7+15=22，

∴A′B′==10．

∴点P运动的总路径的长为10．

故选A．