Question

【题目】如图，直线AC与⊙O相切于点A，点B为⊙O上一点，且OC⊥OB于点O，连接AB交OC于点D．

（1）求证：AC＝CD；

（2）若AC＝3，OB＝4，求OD的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】

（1）由AC是⊙O的切线，得OA⊥AC，结合OD⊥OB，OA＝OB，得∠CDA＝∠DAC，进而得到结论；

（2）利用勾股定理求出OC，即可解决问题．

（1）∵AC是⊙O的切线，

∴OA⊥AC，

∴∠OAC＝90°，即：∠OAD+∠DAC＝90°，

∵OD⊥OB，

∴∠DOB＝90°，

∴∠BDO+∠B＝90°，

∵OA＝OB，

∴∠OAD＝∠B，

∴∠BDO＝∠DAC，

∵∠BDO＝∠CDA，

∴∠CDA＝∠DAC，

∴CD＝CA．

（2）∵在Rt△ACO中，OC＝＝5，

∵CA＝CD＝3，

∴OD＝OC﹣CD＝2．