Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，过点A的直线PC交⊙O于A，C两点，AD平分∠PAB，射线AD交⊙O于点D，过点D作DE⊥PA于点E．

（1）求证：ED为⊙O的切线；

（2）若AB＝10，ED＝2AE，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）ED为⊙O的切线，见解析；（2）6

【解析】

（1）连接AD，根据角平分线的定义得到∠DAE＝∠DAO，得到∠ODA＝∠DAE，根据平行线的性质得到OD⊥DE，于是得到结论；

（2）过O作OH⊥PC，则四边形EHOD是矩形，求得OH＝DE，EH＝OD，设AE＝x，则DE＝2x，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解：（1）连接AD，∵AD平分∠PAB，

∴∠DAE＝∠DAO，

∵OD＝OA，

∴∠ODA＝∠OAD，

∴∠ODA＝∠DAE，

∴OD∥AE，

∵DE⊥AE，

∴OD⊥DE，

∴ED为⊙O的切线；

（2）过O作OH⊥PC，

则四边形EHOD是矩形，

∴OH＝DE，EH＝OD，

∵AB＝10，

∴EH＝OD＝5，

∵ED＝2AE，

∴设AE＝x，则DE＝2x，

∴AH＝5﹣x，OH＝2x，

∵OA2＝AH2+OH2，

∴52＝（5﹣x）2+（2x）2，

解得：x＝2，x＝0（不合题意舍去），

∴AE＝2，AH＝3，

∴AC＝6．