Question

【题目】如图，正方形的边长为9，、分别是、边上的点，且.将绕点逆时针旋转，得到.

（1）求证：

（2）当时，求的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）7.5

【解析】

（1）由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF=45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；

（2）由第一问的全等得到AE=CM=3，正方形的边长为9，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=x，可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=12﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．

（1）∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，

∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，

∴F、C、M三点共线，

∴DE=DM，∠EDM=90°，

∴∠EDF+∠FDM=90°．

∵∠EDF=45°，

∴∠FDM=∠EDF=45°，

在△DEF和△DMF中，

∵，

∴△DEF≌△DMF(SAS)，

∴EF=MF；

（2）设EF=x，则MF=x．

∵AE=CM=3，且BC=9，

∴BM=BC+CM=9+3=12，

∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=12﹣x．

∵EB=AB﹣AE=9﹣3=6，

在Rt△EBF中，由勾股定理得：EB2+BF2=EF2，

即62+(12﹣x)2=x2，

解得：x=7.5，

则EF=7.5．