Question

如图所示，边长为2的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为2的圆上，顶点C、D在该圆内，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质,弧长的计算

专题：

分析：作辅助线，首先求出∠D′AB的大小，进而求出旋转的角度，利用弧长公式问题即可解决．

解答：解：如图，分别连接OA、OB、OD′、OC、OC′；
∵OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=60°；
同理可证：∠OAD′=60°，
∴∠D′AB=120°；
∵∠D′AB′=90°，
∴∠BAB′=120°-90°=30°，
由旋转变换的性质可知∠C′AC=∠B′AB=30°；
∵四边形ABCD为正方形，且边长为2，
∴∠ABC=90°，AC=

22+22

=2

2

，
∴当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为：

30π×2 2

180

=

2 π

3

．
故答案为：

2 π

3

．

点评：该题主要考查了旋转的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，准确求出旋转角．