Question

如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE=

 

，AD=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：根据已知条件判断△ABD∽△DCE，利用相似三角形的性质求出CE的长，进而求出AE的长；借助余弦定理求出DE的长，进而利用相似三角形的性质求出AD的长．

解答：解：∵△ABC为正三角形，且边长为9，BD=3，
∴∠B=∠C=60°，DC=9-3=6；
又∵∠ADE=60°，
∴∠BAD+∠ADB=∠CDE+∠ADB=180°-60°=120°，
∴∠BAD=∠CDE，而∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴

AB

DC

=

BD

CE

，
∴CE=

3×6

9

=2；
AE=9-2=7；
∴DE²=DC²+CE²-2DC•CEcos60°
=36+4-2×6×2×

1

2

=40-12=28，
∴DE=2

7

．
∵△ABD∽△DCE，
∴

AB

DC

=

AD

DE

，
∴AD=

AB•DE

DC

=

9×2 7

6

=3

7

；
综上所述：AE=7，AD=3

7

，
故答案为：7，3

7

．

点评：该题以三角形为载体，在考查等边三角形的性质的同时，重点考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．