Question

如图所示，A、B两块试验田相距200米，C为水源地，AC=160m，BC=120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．

甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；

乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．

（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；

（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．

Answer 1

【考点】勾股定理的应用．

【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；

（2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果．

【解答】解：（1）△ABC是直角三角形；理由如下：

∴AC²+BC²=160²+120²=40000，AB²=200²=40000，

∴AC²+BC²=AB²，

∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°；

（2）甲方案所修的水渠较短；理由如下：

∵△ABC是直角三角形，

∴△ABC的面积=AB•CH=AC•BC，

∴CH===96（m），

∵CH⊥AB，

∴∠AHC=90°，

∴AH===128（m），

∴BH=AB﹣AH=72m，

∵AC+BC=160m+120m=280m，CH+AH+BH=96m+200m=296m，

∴AC+BC＜CH+AH+BH，

∴甲方案所修的水渠较短．

【点评】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解决问题的关键．