Question

6．如图，直线y=-$\frac{3}{4}x+3$与y轴、x轴分别交于点A、B，x轴上有点P，使得△ABP为等腰三角形，则P的坐标为（$\frac{7}{8}$，0）或（-1，0）或（9，0）或（-4，0）．

Answer 1

分析 求出A、B的坐标，求出OA、OB、AB，分为三种情况：画出图形，根据等腰三角形的判定求出即可．

解答 解：直线y=-$\frac{3}{4}x+3$，
当x=0时，y=3，
当y=0时，x=4，
即A（0，3），B（4，0），
OA=3，OB=4，
由勾股定理得：AB=5，
分为三种情况：①如图1，作AB的垂直平分线EP，垂足为E，交x轴于P，此时AP=BP，

则BE=AE=$\frac{5}{2}$，
∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠EBP，
∴△PEB∽△AOB，
∴$\frac{BP}{AB}$=$\frac{BE}{OB}$，
∴$\frac{BP}{5}$=$\frac{\frac{5}{2}}{4}$，
∴BP=$\frac{25}{8}$，
∴OP=4-BP=$\frac{7}{8}$，
此时P的坐标为（$\frac{7}{8}$，0）；
②如图2，以B为圆心以AB为半径画弧，交x轴交于两点P₂，P₃，

此时AB=BP，
点P的坐标为（-1，0）和（9，0）；
③如图3，以A为圆心以AB为半径画弧，交x轴交于点P₄，

此时AB=AP=5，
点P的坐标为（-4，0）．
故答案为：（$\frac{7}{8}$，0）或（-1，0）或（9，0）或（-4，0）．

点评 本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．