Question

17．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．
（1）请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
①写出点的坐标：C（6、2）、D（2、0）；
②⊙D的半径=2$\sqrt{5}$（结果保留根号）；
③∠ADC的度数为90°．
④网格图中是否存在过点B的直线BE是⊙D的切线？如果没有，请说明理由；如果有，请直接写出直线BE的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）根据图形和垂径定理画出图形即可；
（2）①根据已知和网格得出即可；
②根据勾股定理求出半径即可；
③证△AOD≌△DFC，根据全等得出∠OAD=∠CDF，即可求出答案；
④先画出图形，求出B、M的坐标，设出直线BE的解析式，代入求出即可．

解答 解：（1）如图1所示：
；

（2）C（6，2），D（2，0），
①故答案为：（6、2）（2、0）；
②⊙D的半径为：$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
故答案为：2$\sqrt{5}$；
 ③∵OA=DF=4，CF=OD=2，∠AOD=∠DFC=90°，
∴在△AOD和△DFC中
$\left\{\begin{array}{l}{AO=DF}\\{∠AOD=∠DFC}\\{OD=FC}\end{array}\right.$
∴△AOD≌△DFC（SAS），
∴∠OAD=∠CDF，
∵∠AOD=90°，
∴∠ADC=180°-（∠ADO+∠CDF）
=180°-（∠ADO+∠OAD）
=∠AOD
=90°，
故答案为：90°；

  ④如图2，存在过点B的直线BE是⊙D的切线，

则∠DBE=90°，
与③类似可得出△DQB≌△BNM，
所以QD=BN=4，MN=QB=2，
则点M的坐标为（8，2），B的坐标为（4，4），
设直线BE的解析式为y=kx+b（k、b为常数，k≠0），
把B、M的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=2}\\{4k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{1}{2}$，b=6．
故BE的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+6．

点评 本题考查了坐标与图形性质，切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，用待定系数法求出一次函数的解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．