Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．

(1)求证：△ABM≌△DCM；

(2)当AB∶AD＝___时，四边形MENF是正方形，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）利用矩形的性质，利用HL证明△ABM≌△DCM.（2）利用四边形MENF是正方形的结论反推出条件AB∶AD＝1∶2,再用条件证明，先证明∠AMB＝45°.利用△ABM≌△DCM，证明四边形MENF是菱形，最后得菱形MENF是正方形．

试题解析：

解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°.∵M为AD的中点，∴AM＝MD，∴△ABM≌△DCM.

(2) 1∶2，理由：∵AB∶AD＝1∶2，∴AB＝AD.∵AM＝AD，∴AB＝AM，∴∠ABM＝∠AMB.∵∠A＝90°，∴∠AMB＝45°.∵△ABM≌△DCM，∴BM＝CM，∠DMC＝∠AMB＝45°，∴∠BMC＝90°.∵E，F，N分别是BM，CM，BC的中点，∴EN∥CM，FN∥BM，EM＝MF，

∴四边形MENF是菱形．

∵∠BMC＝90°，

∴菱形MENF是正方形．