Question

1．BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF的平分线，求证：∠BDC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

Answer 1

分析 先根据BD、CD分别是∠CBE、∠BCF的平分线可知∠DBC=$\frac{1}{2}$∠EBC，∠BCD=$\frac{1}{2}$∠BCF，再由∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角得出∠CBE+∠BCF=360°-（180°-∠A）=180°+∠A，故∠DBC+∠BCD=$\frac{1}{2}$（∠EBC+∠BCF）=$\frac{1}{2}$（180°+∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A，根据在△DBC中∠BDC=180°-（∠DBC+∠BCD）即可得出结论．

解答 证明：∵BD、CD分别是∠CBE、∠BCF的平分线
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠EBC，∠BCD=$\frac{1}{2}$∠BCF，
∵∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角
∴∠CBE+∠BCF=360°-（180°-∠A）=180°+∠A
∴∠DBC+∠BCD=$\frac{1}{2}$（∠EBC+∠BCF）=$\frac{1}{2}$（180°+∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
在△DBC中，∠BDC=180°-（∠DBC+∠BCD）=180°-（90°+$\frac{1}{2}$∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A．

点评 本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．