Question

设r₁和r₂分别是相切两圆的半径，同时也是关于x的方程x²+px+2=0的两个实数根，若这两个圆的圆心距为4，求r₁和r₂的值．

Answer 1

考点：圆与圆的位置关系,根与系数的关系

专题：计算题

分析：先根据根与系数的关系得到r₁+r₂=-p，r₁•r₂=2，再利用两圆相切的性质求解：当两圆外切时，r₁+r₂=4，先求出p=-4，则方程化为x²-4x+2=0，然后解一元二次方程得到r₁和r₂的值；当两圆内切时，|r₁-r₂|=4，两边平方后利用完全平方公式变形得到（r₁+r₂）²-4r₁r₂=16，则p²-4×2=16，解得p=2

6

（舍去）或p=-2

6

，则方程化为x²-2

6

x+2=0，然后解方程得到r₁和r₂的值．

解答：解：根据题意得r₁+r₂=-p，r₁•r₂=2，
当两圆外切时，r₁+r₂=4，则-p=4，解得p=-4，方程化为x²-4x+2=0，解得x₁=2+

2

，x₂=2-

2

；
当两圆内切时，|r₁-r₂|=4，则（r₁-r₂）²=16，即（r₁+r₂）²-4r₁r₂=16，所以p²-4×2=16，解得p=2

6

（舍去）或p=-2

6

，方程化为x²-2

6

x+2=0，解得x₁=

6

+

2

，x₂=

6

-

2

；
所以r₁和r₂的值为2+

2

，x₂=2-

2

或

6

+

2

，

6

-

2

．

点评：本题考查了圆和圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆半径分别为R，r，若两圆外离?d＞R+r；两圆外切?d=R+r；两圆相交?R-r＜d＜R+r（R≥r）；两圆内切?d=R-r（R＞r）；两圆内含?d＜R-r（R＞r）．也考查了根与系数的关系．