Question

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AC边上有点D，连接BD，以BD为腰作等腰直角三角形BDE，DE交BC于F，那么下面结论：①△ABD∽△CBE，②∠BCE=90°，③DF•EF=BF•CF，④BC-CE=

2

CD，其中正确的结论是﹙﹚

• A、①②
• B、①②③
• C、②③④
• D、①②③④

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：由条件可知△ABC∽△DBE，则可得到

AB

BD

=

BC

BE

，则有

AB

BC

=

BD

BE

，且可得∠ABD=∠CBE，可知①正确，则②也正确，则可证得△DBF∽△CEF，可得到

DF

CF

=

BF

EF

，可得到③，由勾股定理可得BC=

2

AC，且

AD

CE

=

AB

BC

=

1

2

可得CE=

2

AD，则可得出④，可得出答案．

解答：解：∵△ABC和△DBE为等腰直角三角形，
∴△ABC∽△DBE，
∴

AB

BD

=

BC

BE

，
∴

AB

BC

=

BD

BE

，
∵∠ABD+∠DBC=∠DBC+CBE=45°，
∴∠ABD=∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴∠BCE=∠A=90°，
∴①②正确；
在△BDF和△ECF中
∵∠BDE=∠ECF=90°，∠BFD=∠CFE，
∴△BDF∽△ECF，
∴

DF

CF

=

BF

EF

，
∴DF•EF=BF•CF，
∴③正确；
由勾股定理可得BC=

2

AC，由

AD

CE

=

AB

BC

=

1

2

可得CE=

2

AD，
∴BC-CE=

2

AC-

2

AD=

2

（AC-AD）=

2

CD，
∴④正确；
综上可知①②③④都正确，
故选D．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，证得△ABD∽△CBE是解决其他几个结论的关键，注意利用相似寻找证相似的条件．