Question

如图，A、B、C为⊙O上三点，且

AB

=

BC

=

CA

，连接AB、BC、CA．
（1）试确定△ABC的形状；
（2）若AB=a，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：圆心角、弧、弦的关系,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据

AB

=

BC

=

CA

，可得出AB=BC=AC，即可得出三角形的形状；
（2）过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OC，根据直角三角形的性质即可得出⊙O的半径．

解答：解：（1）∵

AB

=

BC

=

CA

，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC为等边三角形；
（2）过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OC，
∴CD=

1

2

BC=

1

2

a，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠OCD=30°，
设OD=x，则OC=2x，
∴OD²+CD²=OC²，
∴x²+

1

4

a²=4x²，
∴x=

3

6

a，
∴⊙O的半径为

3

3

．

点评：本题考查了圆心角、弧、弦以及等边三角形的性质，直角三角形的性质和勾股定理，是一道综合性较强的题目，难度不大．