【题目】如图,P为反比例函数y= (k>0)在第一象限内图象上的一点,过点P分别作x轴,y轴的垂线交一次函数y=﹣x﹣4的图象于点A、B.若∠AOB=135°,则k的值是( )
A.2
B.4
C.6
D.8
【答案】D
【解析】解:方法1、作BF⊥x轴,OE⊥AB,CQ⊥AP,如图1,
设P点坐标(n, ),
∵直线AB函数式为y=﹣x﹣4,PB⊥y轴,PA⊥x轴,
∴C(0,﹣4),G(﹣4,0),
∴OC=OG,
∴∠OGC=∠OCG=45°
∵PB∥OG,PA∥OC,
∴∠PBA=∠OGC=45°,∠PAB=∠OCG=45°,
∴PA=PB,
∵P点坐标(n, ),
∴OD=CQ=n,
∴AD=AQ+DQ=n+4;
∵当x=0时,y=﹣x﹣4=﹣4,
∴OC=DQ=4,GE=OE= OC=
;
同理可证:BG= BF=
PD=
,
∴BE=BG+EG= +
;
∵∠AOB=135°,
∴∠OBE+∠OAE=45°,
∵∠DAO+∠OAE=45°,
∴∠DAO=∠OBE,
∵在△BOE和△AOD中, ,
∴△BOE∽△AOD;
∴ =
,即
=
;
整理得:nk+2n2=8n+2n2,化简得:k=8;
所以答案是:D.
方法2、如图2,
过B作BF⊥x轴于F,过点A作AD⊥y轴于D,
∵直线AB函数式为y=﹣x﹣4,PB⊥y轴,PA⊥x轴,
∴C(0,﹣4),G(﹣4,0),
∴OC=OG,
∴∠OGC=∠OCG=45°
∵PB∥OG,PA∥OC,
∴∠PBA=∠OGC=45°,∠PAB=∠OCG=45°,
∴PA=PB,
∵P点坐标(n, ),
∴A(n,﹣n﹣4),B(﹣4﹣ ,
)
∵当x=0时,y=﹣x﹣4=﹣4,
∴OC=4,
当y=0时,x=﹣4.
∴OG=4,
∵∠AOB=135°,
∴∠BOG+∠AOC=45°,
∵直线AB的解析式为y=﹣x﹣4,
∴∠AGO=∠OCG=45°,
∴∠BGO=∠OCA,∠BOG+∠OBG=45°,
∴∠OBG=∠AOC,
∴△BOG∽△OAC,
∴ =
,
∴ =
,
在等腰Rt△BFG中,BG= BF=
,
在等腰Rt△ACD中,AC= AD=
n,
∴ ,
∴k=8,
所以答案是:D.
【考点精析】关于本题考查的平行线的判定与性质和相似三角形的判定与性质,需要了解由角的相等或互补(数量关系)的条件,得到两条直线平行(位置关系)这是平行线的判定;由平行线(位置关系)得到有关角相等或互补(数量关系)的结论是平行线的性质;相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方才能得出正确答案.
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【题目】如图,中,
,
,
点P从A点出发沿
路径向终点运动,终点为B点;点Q从B点出发沿
路径向终点运动,终点为A点
点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动,两点都要到相应的终点时才能停止运动,在某时刻,分别过P和Q作
于E,
于
问:点P运动多少时间时,
与QFC全等?请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某中学开展“绿化家乡、植树造林”活动,为了解全校植树情况,对该校甲、乙、丙、丁四个班级植树情况进行了调查,将收集的数据整理并绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图,请根据图中的信息,完成下列问题:
(1)这四个班共植树棵;
(2)请你在答题卡上补全两幅统计图;
(3)求图1中“甲”班级所对应的扇形圆心角的度数;
(4)若四个班级植树的平均成活率是95%,全校共植树2000棵,请你估计全校种植的树中成活的树有多少棵?
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【题目】如图,曲线l是由函数y= 在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的,过点A(﹣4
,4
),B(2
,2
)的直线与曲线l相交于点M、N,则△OMN的面积为 .
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【题目】如图,AB∥CD,AB=CD,点B、E、F、D在同一条直线上,∠BAE=∠DCF.
(1)求证:AE=CF;
(2)连结AF、EC,试猜想四边形AECF是什么四边形,并证明你的结论.
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【题目】如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40,其三条角平分线将△ABC分为三个三角形,则S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于( )
A. 1︰1︰1
B. 1︰2︰3
C. 2︰3︰4
D. 3︰4︰5
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