【题目】以△ABC的边AC为直径的半圆交AB边于D点,∠A、∠B、∠C所对边长为a、b、c,且二次函数y=(a+c)x2-bx+
(c-a)顶点在x轴上,a是方程z2+z-20=0的根.
(1)证明:∠ACB=90°;
(2)若设b=2x,弓形面积S弓形AED=S1,阴影面积为S2,求(S2-S1)与x的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,当BD为何值时,(S2-S1)最大?
【答案】(1)证明见解析;(2)S2-S1=-x2+4x;(3)BD=
.
【解析】
(1)由抛物线的顶点在轴上,得到
从而可得结论.
(2)利用a是z2+z-20=0的根,求解的值,再利用S2-S1=S△ABC-(S半圆-S1)-S1=S△ABC-S半圆,从而可得答案,
(3)由(2)的函数关系式求解()最大时
,利用直径所对的圆周角是直角,得到
利用相似三角形的性质可得答案.
(1)因为二次函数y=(a+c)x2-bx+
(c-a)的顶点在x轴上,
∴ Δ=0,即:b2-4×(a+c)×
(c-a)=0,
∴ c2=a2+b2,
得∠ACB=90°.
(2)∵ z2+z-20=0.
∴ z1=-5,z2=4,
∵ a>0,得a=4.
设b=AC=2x,有S△ABC=AC·BC=4x,S半圆=
x2
∴ S2-S1=S△ABC-(S半圆-S1)-S1=S△ABC-S半圆=-x2+4x
(3) S2-S1=-
(x-
)2+
,
∴ 当x=时,(S2-S1)有最大值
.
这时,b=,a=4,c=
,
如图,连接
为圆的直径,
BD=
.
当BD为时,(S2-S1)最大.
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【题目】某公司有甲种原料,乙种原料
,计划用这两种原料生产
、
两种产品共40件.生产每件
种产品需甲种原料
,乙种原料
,可获利润900元;生产每件
种产品需甲种原料
,乙种原料
,可获利润1100元.设安排生产
种产品
件(
为非负整数). .
(I)根据题意,填写下表:
甲( | 乙( | 件数(件) | |
(Ⅱ) 安排生产、
两种产品的件数有几种方案?试说明理由:
(Ⅲ) 设生产这批40件产品共可获利润元,将
表示为
的函数,并求出最大利润.
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【题目】已知直线l:y=kx和抛物线C:y=ax2+bx+1.
(1)当k=1,b=1时,抛物线C:y=ax2+bx+1的顶点在直线l:y=kx上,求a的值;
(2)若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r,则无论非零实数k取何值,直线r与抛物线C都只有一个交点;
(i)求此抛物线的解析式;
(ii)若P是此抛物线上任一点,过点P作PQ∥y轴且与直线y=2交于点Q,O为原点,
求证:OP=PQ.
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【题目】如图所示,在每个边长都为1的小正方形组成的网格中,点、
、
均为格点.
(1)线段的长度等于______;
(2)若为线段
上的动点,以
、
为邻边的四边形
为平行四边形,当
长度最小时,请你借助网格和无刻度的直尺画出该平行四边形,并简要说明你的作图方法:__________(不要求证明).
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【题目】在直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,1),在x轴上确定点P,使△AOP为等腰三角形,则符合条件的点P的个数共有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
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【题目】如图,在矩形中,点
是边
上一点(不与点
重合),点
是
延长线上一点,且
,连接
.
(1)求证:
(2)连接,其中
①当四边形是菱形时,求线段
与线段
之间的距离;
②若点是
的内心,连接
,直接写出
的取值范围.
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【题目】如图,为
的直径,
为
上一点,且点
不与点
重合,点
为半径
的中点,过点
作
交
的延长线于点
,连接
.
(1)求证:点为
的中点;
(2)连接,若
,请直接写出
的面积.
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【题目】我市某电暖科技有限公司准备购进A型(直热式电暖)和B型(智能电风幕电暖)两种设备,经计算,购进 3 台A设备和 2 台B设备需用 6.6 万元,购进 1 台A设备和 3 台B设备需用5. 7 万元 .
请解答下列问题:
(1)求A、B两种设备的进价;
(2)该公司计划用 21 万元同时购进A、B两种设备,若A设备以每台1.5万元的价格出售,B设备以每台2万元的价格出售,且全部售出,请求出所获利润W(单位:万元)与购买A设备的资金m(单位:万元)之间的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,要求A设备的利润不低于B设备的利润,并将(2)中的最大利润全部用于购买甲(小米笔记本4000元/台)、乙(华为笔记本6000元/台)两种型号的电脑赠给某中学,请求出有几种购买电脑的方案 .
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【题目】如图,已知四边形ABCD是平行四边形,AB<AD.
(1)利用尺规作图作出∠ABC的角平分线BG,交AD于点E,记点A关于BE对称点为F(要求保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)所作的图中,若AF=6,AB=5,求BE的长和四边形ABFE的面积.
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