Question

【题目】以△ABC的边AC为直径的半圆交AB边于D点，∠A、∠B、∠C所对边长为a、b、c，且二次函数y＝(a＋c)x2-bx＋(c-a)顶点在x轴上，a是方程z2＋z-20＝0的根．

(1)证明：∠ACB＝90°；

(2)若设b＝2x，弓形面积S弓形AED＝S1，阴影面积为S2，求(S2-S1)与x的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，当BD为何值时，(S2-S1)最大？

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）S2-S1＝-x2＋4x；（3）BD＝．

【解析】

(1)由抛物线的顶点在轴上，得到 从而可得结论．

(2)利用a是z2＋z-20＝0的根，求解的值，再利用S2-S1＝S△ABC-(S半圆-S1)-S1＝S△ABC-S半圆，从而可得答案，

(3)由（2）的函数关系式求解（）最大时，利用直径所对的圆周角是直角，得到利用相似三角形的性质可得答案．

(1)因为二次函数y＝(a＋c)x2-bx＋(c-a)的顶点在x轴上，

∴　Δ＝0，即：b2-4×(a＋c)×(c-a)＝0，

∴　c2＝a2＋b2，

得∠ACB＝90°．

(2)∵　z2＋z-20＝0．

∴　z1＝-5，z2＝4，

∵　a＞0，得a＝4．

设b＝AC＝2x，有S△ABC＝AC·BC＝4x，S半圆＝x2

∴　S2-S1＝S△ABC-(S半圆-S1)-S1＝S△ABC-S半圆＝-x2＋4x

(3) S2-S1＝-(x-)2＋，

∴　当x＝时，(S2-S1)有最大值．

这时，b＝，a＝4，c＝,

如图，连接

为圆的直径，

BD＝．

当BD为时，(S2-S1)最大．