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【题目】△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.
(1)观察猜想
如图1,当点D在线段BC上时,
①BC与CF的位置关系为:
②BC,CD,CF之间的数量关系为:;(将结论直接写在横线上)

(2)数学思考
如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.

(3)拓展延伸
如图3,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE.若已知AB=2 ,CD= BC,请求出GE的长.

【答案】
(1)垂直;BC=CD+CF
(2)

解:CF⊥BC成立;BC=CD+CF不成立,CD=CF+BC.

∵正方形ADEF中,AD=AF,

∵∠BAC=∠DAF=90°,

∴∠BAD=∠CAF,

在△DAB与△FAC中,

∴△DAB≌△FAC,

∴∠ABD=∠ACF,

∵∠BAC=90°,AB=AC,

∴∠ACB=∠ABC=45°.

∴∠ABD=180°﹣45°=135°,

∴∠BCF=∠ACF﹣∠ACB=135°﹣45°=90°,

∴CF⊥BC.

∵CD=DB+BC,DB=CF,

∴CD=CF+BC.


(3)

解:过A作AH⊥BC于H,过E作EM⊥BD于M,EN⊥CF于N,

∵∠BAC=90°,AB=AC,

∴BC= AB=4,AH= BC=2,

∴CD= BC=1,CH= BC=2,

∴DH=3,

由(2)证得BC⊥CF,CF=BD=5,

∵四边形ADEF是正方形,

∴AD=DE,∠ADE=90°,

∵BC⊥CF,EM⊥BD,EN⊥CF,

∴四边形CMEN是矩形,

∴NE=CM,EM=CN,

∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90°,

∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°,

∴∠ADH=∠DEM,

在△ADH与△DEM中,

∴△ADH≌△DEM,

∴EM=DH=3,DM=AH=2,

∴CN=EM=3,EN=CM=3,

∵∠ABC=45°,

∴∠BGC=45°,

∴△BCG是等腰直角三角形,

∴CG=BC=4,

∴GN=1,

∴EG= =


【解析】解:(1)①正方形ADEF中,AD=AF,
∵∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAD=∠CAF,
在△DAB与△FAC中,
∴△DAB≌△FAC,
∴∠B=∠ACF,
∴∠ACB+∠ACF=90°,即BC⊥CF;
故答案为:垂直;②△DAB≌△FAC,
∴CF=BD,
∵BC=BD+CD,
∴BC=CF+CD;
故答案为:BC=CF+CD;
(1)①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°,推出△DAB≌△FAC,根据全等三角形的性质即可得到结论;②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC,根据全等三角形的性质得到CF=BD,∠ACF=∠ABD,根据余角的性质即可得到结论;(2)根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°,推出△DAB≌△FAC,根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论.(3)根据等腰直角三角形的性质得到BC= AB=4,AH= BC=2,求得DH=3,根据正方形的性质得到AD=DE,∠ADE=90°,根据矩形的性质得到NE=CM,EM=CN,由角的性质得到∠ADH=∠DEM,根据全等三角形的性质得到EM=DH=3,DM=AH=2,等量代换得到CN=EM=3,EN=CM=3,根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=4,根据勾股定理即可得到结论.

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