Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，BC=8，以BC为边，在△ABC外作等边△BCD，点E为BC中点，连接AE并延长交CD于点F．

（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的ABCD折叠，使点D和点A重合，折痕为GH，求CG的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵∠BAC=90°，点E为BC中点，

∴AE= BC=BE，

∵∠ACB=30°，

∴∠ABC=60°，

∴△ABE是等边三角形，

∴∠AEB=60°，

∵△BCD是等边三角形，

∴∠DBC=∠BCD=60°，

∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=30°+60°=90°，

∵∠DBC=∠AEB=60°，∠BAC=∠ACD=90°，

∴AB∥CD，BD∥AF，

∴四边形ABDF是平行四边形

（2）

解：∵∠BAC=90°，∠ACB=30°，BC=8，

∴AB=4，AC= = =4 ，

∵△BCD是等边三角形，

∴CD=BC=8，

设CG=x，则DG=8﹣x，

在Rt△ACG中，AG2=AC2+CG2，

即：（8﹣x）2=x2+（4 ）2，

解得：x=1，

∴CG=1

【解析】（1）先证明△ABE是等边三角形，得出∠AEB=60°，由△BCD是等边三角形，得出∠DBC=∠BCD=60°，∠ACD=90°，证得AB∥CD，BD∥AF，即可得出结论；（2）求出AB=4，AC=4 ，设CG=x，则DG=8﹣x，在Rt△ACG中，AG2=AC2+CG2 ， 代入解方程即可得出结果．
【考点精析】通过灵活运用等边三角形的性质和直角三角形斜边上的中线，掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可以解答此题．