Question

15．如图，在△ABC中，AB=AC，点O是BC的中点，连接AO，在AO的延长线上取一点D，连接BD，CD
（1）求证：△ABD≌△ACD；
（2）当AO与AD满足什么数量关系时，四边形ABDC是菱形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用全等三角形的判定方法结合SAS得出即可；
（2）利用菱形的判定方法对角线互相垂直且平分的四边形是菱形得出即可．

解答 （1）证明：∵AB=AC，点O是BC的中点，
∴∠BAO=∠CAO，
在△ABD和△ACD中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD（SAS）；

（2）解：当AO=$\frac{1}{2}$AD时，四边形ABDC是菱形．
理由：∵AO=$\frac{1}{2}$AD，∴AO=DO，
又∵BO=CO，AO⊥BC，
∴四边形ABDC是菱形．

点评 此题主要考查了菱形的判定以及全等三角形的判定与性质，熟练应用全等三角形的判定方法是解题关键．