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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,过点DDEBCBC于点E,且DEADFDC上一点,且ADFD,连接AFDE交于点G

1)若∠C60°AB2,求GF的长;

2)过点AAHAD,且AHCE,求证:ABDG+AH

【答案】1GF1;(2)证明见解析.

【解析】

1)过GGHCDH,根据三角形的内角和得到∠CDE60°,根据平行四边形的性质得到ADBCABCD2,得到∠ADC120°,解直角三角形即可得到结论;

2)根据全等三角形的性质得到∠ADH=∠EDC,∠H=∠CDHDC,根据平行四边形的性质得到ABCDABCD,推出∠DFAC,在DH上截取HMAH,得到∠HAM=∠HMA,求得∠DAMH,根据全等三角形的性质即可得到结论.

解:(1)如图1,过GGHCDH

DEBC

∴∠DEC90°

∵∠C60°

∴∠CDE30°

∵四边形ABCD是平行四边形,

ADBCABCD2

∴∠ADC120°

ADDF

∴∠DAF=∠DFA30°

∴∠GDF=∠DFG

DGGF

CD2

DECD

DF

HFDF

GF1

2)∵AHADDEBC

∴∠DAH=∠DEC90°

在△DAH与△DEC中,

∴△DAH≌△DECSAS),

∴∠ADH=∠EDC,∠H=∠CDHDC

∵四边形ABCD是平行四边形,

ABCDABCD

∴∠DAB=∠C,∠DFA=∠BAF

ADDF

∴∠DAF=∠DFA

∴∠DFAC

如图2,在DH上截取HMAH

∴∠HAM=∠HMA

∴∠H180°2HAM

∵∠MAD90°﹣∠HAM

∴∠DAMH

∴∠MAD=∠GFD

在△ADM与△FDG中,

∴△ADM≌△FDGASA),

DMDG

ABCDDHHM+DM

ABAH+DG

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