Question

△ABC，点D在AB上，AD=AC，连接CD，点E，F分别在线段BC、射线CA上，∠EDF=∠ACB，点G在DF上，DG•BC=A•DE
（1）如图，求证：∠DGE=∠BAC；
（2）若AD=3BD，cos∠BAC=

7

8

，射线CG交AB于点H，探究线段DH，FA，FC之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据等式的性质，可得

DG

AC

=

DE

CB

，根据相似三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据勾股定理，可得BP=

15

k，根据两边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似，可得△CBD∽△ABC，根据相似三角形的性质，可得

CD

AC

=

BC

AB

，根据两边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似，可得△CGO∽△EDO，根据∠GCD=∠ABC，∠CHD=∠BHC，可得△CHD∽△BHC，根据相似三角形的性质，可得

CH

BH

=

HD

HC

=

CD

BC

=

3

4

，根据等式的性质，可得答案．

解答：（1）证明：∵DG•BC=AD•DE，
∴

DG

AD

=

DE

BC

．
∵AD=AC，
∴

DG

AC

=

DE

CB

．
∵∠EDG=∠ACB，
∴△EDG∽△BCA．
∴∠DGE=∠BAC；
（2）如图2当点F在AC上时，作BP⊥AC与P点，设AB=8k，由cos∠BAC=

AP

AB

=

7

8

得AP=7k，
∵AD=3DB，
∴AC=AD=6k，PC=k．
在Rt△ABP内，AB=8k，AP=7k，
∴BP=

15

k，
在Rt△BCP内PC=k，BP=

15

k，
∴BC=4k
∵BD=2k，
∴

BD

BC

=

BC

AB

，
∵∠CBD=∠ABC，
∴△CBD∽△ABC，
∴∠DCB=∠BAC，

CD

AC

=

BC

AB

∴CD=

3

4

BC
设EG交CD于点O，
由∠DCB=∠A=∠DGE，∠GOD=EOC，
∴△GOD∽△COE，
∴

OG

CO

=

OD

OE

，

OG

OD

=

OC

OE

∵∠COG=∠EOD，
∴△CGO∽△EDO，
∴∠GCD=∠GED．
由（1）△EDG∽△BCA得∠GED=∠ABC，
∴∠GCD=∠ABC，
∵∠CHD=∠BHC，
∴△CHD∽△BHC，
∴

CH

BH

=

HD

HC

=

CD

BC

=

3

4

，
设HD=3t，CH=4t，BH=

16

3

t
∴BD=

7

3

t=2k
∴HD=

18

7

k
∵FA+FC=6k，
∴FA+FC=

7

3

HD，
如图3当点F在CA延长线上时，FC-FA=

7

3

HD．

点评：本题考查了相似形综合题，利用了相似三角形的判定与性质，多次利用相似三角形的判定与性质是解题关键．